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Python ::: Python para Engenharia ::: Engenharia Civil - Concreto, Concreto Armado e Concretos Especiais

Como calcular o Momento Mínimo de uma viga de concreto armado usando Python - Python para Engenharia Civil e Cálculo Estrutural

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A ABNT NBR 6118 (Projeto de estruturas de concreto armado) define que todas as vigas, independente de suas dimensões e momentos solicitantes, precisam apresentar uma taxa mínima de armadura de tração. O concreto possui excelente resistência à compressão, porém, sua resistência à tração é muito baixa, ficando em torno de 10% do valor de sua resistência à compressão.

A NBR 6118 lista, como primeira exigência, uma taxa mínima absoluta de 0,15% de armadura longitudinal para as vigas de concreto armado. A segunda exigência é calcular a área de armadura mínima a partir do M_dmin, que é o momento mínimo (de projeto) a ser considerado no dimensionamento.

Dessa forma, após calcularmos o momento mínimo M_dmin, só precisamos calcular a área de aço correspondente a este momento.

A fórmula do momento mínimo para as vigas de concreto armado é:

\[M_\text{dmin} = 0,8 \cdot W_\text{0} \cdot f_\text{ctk,sup}\]
Onde:

M_dmin é o momento mínimo de projeto a ser considerado, em kN.m (ou kN.cm dependendo da necessidade);

f_ctk,sup é o limite superior da resistência à tração média do concreto, em kN.cm². Em outra dica desta seção eu mostrei como o f_ctk,sup é calculado;

W₀ é o módulo de resistência da seção transversal da viga, em m³.

Já o Módulo de Resistência da Seção (para seções retangulares), é calculado pela seguinte fórmula:

\[W_\text{0} = \frac{b \cdot h^2}{6}\]
Onde:

W₀ é o módulo de resistência da seção transversal da viga, em cm³;

b é a largura da viga em centímetros;

h é a altura da viga em centímetros.

Veja agora o código Python que pede para o usuário informar o FCK do concreto e as dimensões da viga e calcula o f_ctk,sup, o W₀ e finalmente o M_dmin solicitante para o cálculo da armadura longitudinal mínima da viga:

----------------------------------------------------------------------
Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
no WhatsApp +55 (62) 98553-6711 (Osmar)
----------------------------------------------------------------------

# vamos importar o módulo Math
import math

# função principal do programa
def main():
  # vamos pedir para o usuário informar o FCK do concreto
  fck = float(input("Informe o FCK do concreto em Mpa: "))

  # vamos ler a largura da viga
  bw = float(input("Informe a largura bw da viga em cm: "))
  
  # vamos ler a altura da viga
  h = float(input("Informe a altura h da viga em cm: "))
  
  # agora vamos calcular a resistência à tração média
  # do concreto
  fctk_m = 0.3 * math.pow(fck, 2.0 / 3.0)

  # vamos calcular o limite superior
  fctk_sup = 1.3 * fctk_m

  # vamos calcular o módulo de resistência da seção
  w0 = (bw * math.pow(h, 2) / 6.0) 

  # agora já podemos calcular o momento mínimo
  mdmin = 0.8 * w0 * (fctk_sup / 10.0)

  # e mostramos os resultados
  print("\nO fctk,sup é: {0} Mpa ({1} kN/cm2)".format(round(fctk_sup, 5),
    round(fctk_sup / 10.0, 5)))
  print("O módulo de resistência da seção W0 é: {0} cm3 ({1} m3)".format(
    round(w0, 5), round(w0 / 1000000.0, 5)))
  print("O momento mínimo Mdmin é: {0} kN.cm ({1} kN.m)".format(
    round(mdmin, 5), round(mdmin / 100.0, 5)))

if __name__ == "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

Informe o FCK do concreto em Mpa: 30
Informe a largura bw da viga em cm: 20
Informe a altura h da viga em cm: 50

O fctk,sup é: 3.76541 Mpa (0.37654 kN/cm2)
O módulo de resistência da seção W0 é: 8333.33333 cm3 (0.00833 m3)
O momento mínimo Mdmin é: 2510.2724 kN.cm (25.10272 kN.m)

C ::: C para Engenharia ::: Geometria Analítica e Álgebra Linear

Como calcular a norma ou módulo de vetores nos espaços R2 e R3 usando C - Geometria Analítica e Álgebra Linear usando C

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Em Geometria Analítica e Álgebra Linear, a magnitude, norma, comprimento, tamanho ou módulo (também chamado de intensidade na Física) de um vetor é o seu comprimento, que pode ser calculado por meio da distância de seu ponto final a partir da origem, no nosso caso (0,0).

Considere o seguinte vetor no plano, ou seja, no espaço bidimensional, ou R2:

\[\vec{v} = \left(7, 6\right)\]

Aqui este vetor se inicia na origem (0, 0) e vai até as coordenadas (x = 7) e (y = 6). Veja sua plotagem no plano 2D:

Note que na imagem já temos todas as informações que precisamos, ou seja, o tamanho desse vetor é 9 (arredondado) e ele faz um ângulo de 41º (graus) com o eixo x positivo. Em linguagem mais adequada da trigonometria, podemos dizer que a medida do cateto oposto é 6, a medida do cateto adjacente é 7 e a medida da hipotenusa (que já calculei para você) é 9.

Note que já mostrei também o ângulo theta (__$\theta__$) entre a hipotenusa e o cateto adjacente, o que nos dá a inclinação da reta representada pelos pontos (0, 0) e (7, 6).

Relembrando nossas aulas de trigonometria nos tempos do colegial, temos que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, ou seja, o Teorema de Pitágoras:

\[a^2 = b^2 + c^2\]

Como sabemos que a potenciação é o inverso da radiciação, podemos escrever essa fórmula da seguinte maneira:

\[a = \sqrt{b^2 + c^2}\]

Passando para os valores x e y que já temos:

\[a = \sqrt{7^2 + 6^2}\]

Podemos comprovar que o resultado é 9,21 (que arredondei para 9). Não se esqueça da notação de módulo ao apresentar o resultado final:

\[\left|\vec{v}\right| = \sqrt{7^2 + 6^2}\]

E aqui está o código C que nos permite informar os valores x e y do vetor e obter o seu comprimento, tamanho ou módulo:

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
  
int main(int argc, char *argv[]){
  float x, y, norma;
  // vamos ler os valores x e y
  printf("Informe o valor de x: ");
  scanf("%f", &x);
  printf("Informe o valor de y: ");
  scanf("%f", &y);
  
  // vamos calcular a norma do vetor
  norma = sqrt(pow(x, 2) + pow(y, 2));
    
  // mostra o resultado
  printf("A norma do vetor é: %f", norma);
 
  printf("\n\n");
  system("PAUSE");
  return 0;
}

Ao executar este código C nós teremos o seguinte resultado:

Informe o valor de x: 7
Informe o valor de y: 6
A norma do vetor é: 9.219544457292887

Novamente note que arredondei o comprimento do vetor para melhor visualização no gráfico. Para calcular a norma de um vetor no espaço, ou seja, no R3, basta acrescentar o componente z no cálculo.

PHP ::: Dicas & Truques ::: Trigonometria - Funções Trigonométricas

Como calcular o comprimento da hipotenusa em PHP dadas as medidas do cateto oposto e do cateto adjascente

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Nesta dica mostrarei como é possível usar a linguagem PHP para retornar o comprimento da hipotenusa dadas as medidas do cateto oposto e do cateto adjascente. Vamos começar analisando a imagem a seguir:

Veja que, nessa imagem, eu já coloquei os comprimentos da hipotenusa, do cateto oposto e do cateto adjascente. Para facilitar a conferência dos cálculos, eu coloquei também os ângulos theta (que alguns livros chamam de alfa) e beta já devidamente calculados.

Então, sabendo que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Teorema de Pitógoras):

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Tudo que temos a fazer a converter esta fórmula para código PHP. Veja:

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<?php
  $a = 20; // medida do cateto oposto
  $b = 30; // medida do cateto adjascente
  
  // agora vamos calcular o comprimento da hipotenusa
  $c = sqrt(pow($a, 2) + pow($b, 2));
 
  // e mostramos o resultado
  echo "O comprimento da hipotenusa é: " . $c;
?>

Ao executar este código PHP nós teremos o seguinte resultado:

O comprimento da hipotenusa é: 36.05551275464

Como podemos ver, o resultado retornado com o código PHP confere com os valores da imagem apresentada.

Python ::: Desafios e Lista de Exercícios Resolvidos ::: Recursão (Recursividade)

Exercícios Resolvidos de Python - Uma função recursiva que conta quantas vezes um valor inteiro k ocorre em um vetor de inteiros

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Pergunta/Tarefa:

Escreva uma função recursiva em Python que conta quantas vezes um valor inteiro k ocorre em um vetor de 10 inteiros. Sua função deverá ter a seguinte assinatura:

# função recursiva que recebe um valor e informa quantas vezes
# ele aparece no vetor também informado
def quant_repeticoes(indice, valor, vetor):
  # sua implementação aqui

Seu programa deverá solicitar ao usuário os valores do vetor e o valor a ser pesquisado.

Sua saída deverá ser parecida com:

Informe o 1 valor: 2
Informe o 2 valor: 7
Informe o 3 valor: 4
Informe o 4 valor: 7
Informe o 5 valor: 1

Informe o valor a ser pesquisado no vetor: 7
O valor informado se repete 2 vezes.

Resposta/Solução:

Veja a resolução comentada deste exercício usando Python:

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# método principal
def main():
  # vamos declarar um vetor de 10 inteiros
    valores = [0 for x in range(5)]

    # vamos pedir ao usuário que informe os valores do vetor
    for i in range(len(valores)):
      valores[i] = int(input("Informe o %d.o valor: " % ((i + 1))))
    
    # agora vamos pedir para informar o valor a ser pesquisado
    valor = int(input("\nInforme o valor a ser pesquisado no vetor: "))
    
    # e vamos ver a quantidade de repetições
    repeticoes = quant_repeticoes(0, valor, valores)
    print("O valor informado se repete {0} vezes.".format(repeticoes))

# função recursiva que recebe um valor e informa quantas vezes
# ele aparece no vetor também informado
def quant_repeticoes(indice, valor, vetor):
  if indice == len(vetor) - 1: # caso base...hora de parar a recursividade
    if vetor[indice] == valor:
      return 1 # mais um repetição foi encontrada
  else: # dispara mais uma chamada recursiva
    if vetor[indice] == valor: # houve mais uma repetição
      return 1 + quant_repeticoes(indice + 1, valor, vetor)
    else:
      return 0 + quant_repeticoes(indice + 1, valor, vetor) # não repetiu

  return 0 # só para deixar o compilador satisfeito...esta linha nunca é executada

if __name__== "__main__":
  main()

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