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Programação Linear em Python - Uma madeireira deseja retornar 1000kg de lenha, 2000kg de madeira para móveis e 50 metros - Desafio de Programação Resolvido em Python

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Pergunta/Tarefa:

Este exercício de Python aborda o uso da biblioteca PuLP para resolver um problema de Pesquisa Operacional usando Programação Linear.

Uma madeireira deseja obter 1000kg de lenha, 2000kg de madeira para móveis e 50 metros quadrados de casca de árvore, dispondo de carvalho e pinheiro, sendo que o carvalho gera 40kg de lenha, 150kg de madeira e 3 metros quadrados de casca aproveitável; o pinheiro 100kg de lenha, 60kg de madeira e 8 metros quadrados de casca aproveitável.

Formule o problema, de modo a minimizar os custos, sabendo que cada carvalho custa R$ 1500,00 para a empresa e cada pinheiro R$ 1200,00. Em seguida use a API de Programação Linear do PuLP para resolver o problema e mostrar a melhor solução.

Sua saída deverá ser parecida com:

x: 11.111111
y: 5.5555556
Resposta/Solução:

Antes de passarmos para o código Python é importante entendermos e fazermos a modelagem do problema. Neste exercício busca-se encontrar o custo mínimo. Assim, a nossa função objetivo será dada pela combinação dos preços do carvalho e do pinheiro. Veja:

Zmin = 1500x + 1200y

Aqui nós definimos a variável x para o carvalho e a variável y para o pinheiro.

Agora que já temos a função Z, o próximo passo é analizarmos as restrições. Note que a empresa precisa de 1000kg de lenha. O carvalho gera 40kg de lenha, enquanto o pinheiro gera 100kg. Então nossa primeira restrição é:

R1 = 40x + 100y >= 1000

Para a segunda restrição nós temos que a empresa precisa de 2000kg de madeira. O carvalho gera 150kg de madeira, enquanto o pinheiro gera 60kg. Assim, nossa segunda restrição é:

R2 = 150x + 60y >= 2000

Finalmente, para a terceira restrição, sabemos que a empresa necessita de 50 metros quadrados de casca de árvore. O carvalho gera 3 metros quadrados de casca aproveitável, enquanto o pinheiro gera 8 metros quadradros. Então a terceira restrição é:

R3 = 3x + 8y >= 50

As restrições 4 e 5 dizem que tanto o x quanto o y devem ser maiores ou iguais a zero, e que ambos devem pertencer aos números reais.

Veja agora como usamos os dados de formulação para resolver este exercício usando Python e a biblioteca PuLP:

# vamos importar as ferramentas necessárias
from pulp import LpMinimize, LpProblem, LpVariable

# método principal
def main():
  # vamos criar o modelo
  modelo = LpProblem(name="Pesquisa Operacional em Python", sense=LpMinimize)

  # agora inicializamos as variáveis de decisão
  x = LpVariable(name="x", lowBound=0)
  y = LpVariable(name="y", lowBound=0)

  # vamos adicionar as restrições de acordo com a formulação do problema
  modelo += (40 * x + 100 * y >= 1000, "R1")
  modelo += (150 * x + 60 * y >= 2000, "R2")
......


Note como o PuLP nos deu o custo mínimo de 23333.33 para atingir o objetivo desejado pela madeireira.

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