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Como calcular o determinante de uma matriz usando o Teorema de Laplace em C++

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Como já vimos em dicas anteriores, o determinante de uma matriz de ordem 3 (três linhas e três colunas) pode ser obtido por meio da Regra de Sarrus. No entanto, quando temos matrizes de ordem 4 ou superior, a regra mais comumente aplicada é o Método dos Cofatores, ou Regra de Laplace.

O Método dos Cofatores, ou Expansão de Cofatores, ou ainda Determinante por Laplace, foi um método para o cálculo de determinantes inventado por Pierre Laplace.

Nesta dica mostrarei um código C++ completo para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 usando expansão de cofatores. Note que a função calcularDeterminante() é uma função recursiva cujo caso base é a redução da matriz original em apenas uma linha e uma coluna.

Veja o código completo:

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Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
no WhatsApp +55 (62) 98553-6711 (Osmar)
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#include <string>
#include <iostream>
#include <iomanip>

// vamos definir a ordem da matriz
#define ORDEM 3 // 3 linhas e 3 colunas

using namespace std;

// protótipo das funções
int calcular_determinante(int matriz[ORDEM][ORDEM], int ordem);
void calcular_cofator(int mat[ORDEM][ORDEM], int temp[ORDEM][ORDEM],
  int p, int q, int ordem);

int main(int argc, char *argv[]){
  // variáveis auxiliares
  int i, j, determinante;
 
  // e agora criamos a matriz. Podemos definir os elementos
  // diretamente ou pedir para o usuário informar os valores
  int matriz[ORDEM][ORDEM] = {{1, 3, 0}, {0, 2, 5}, {2, 4, 4}}; 
 
  // mostramos a matriz completa
  cout << "A matriz e:\n\n";
    
  for (i = 0; i < ORDEM; i++) {
    for (j = 0; j < ORDEM; j++){
      cout << setw(5) << matriz[i][j];
    }
    cout << "\n";
  }
    
  // vamos calcular o determinante usando o Teorema de Laplace
  determinante = calcular_determinante(matriz, ORDEM);
    
  // e mostramos o resultado
  cout << "\nO determinante da matriz e: " << determinante << endl;
  cout << "\n" << endl;
  
  system("PAUSE"); // pausa o programa
  return EXIT_SUCCESS; 
}

// função recursiva que encontra e retorna o determinante de uma
// matriz de qualquer ordem
int calcular_determinante(int matriz[ORDEM][ORDEM], int ordem){
  int determinante = 0; // para guardar e retornar o determinante
  // matriz de cofatores
  int cofatores[ORDEM][ORDEM];
  // para guardar o sinal de multiplicação
  int sinal = 1;
    
  // variáveis auxiliares nesta função
  int f;  
    
  // caso base da recursividade:
  // se a matriz possuir apenas um elemento, retorna ele
  if (ordem == 1){
    return matriz[0][0];
  }
 
  // vamos percorrer cada um dos elementos da primeira linha    
  for (f = 0; f < ordem; f++) {
    // vamos obter o cofator de matriz[0][f]
    calcular_cofator(matriz, cofatores, 0, f, ordem);
    determinante = determinante + (sinal * matriz[0][f]
      * calcular_determinante(cofatores, ordem - 1));
 
    // alterna o sinal
    sinal = -sinal;
  }
 
  // retorna o determinante
  return determinante;
} 
  
// função para retornar o cofator de mat[p][q] em temp[][]
// ordem é a ordem atual da matriz mat[][]
void calcular_cofator(int mat[ORDEM][ORDEM], int temp[ORDEM][ORDEM],
  int p, int q, int ordem){
  // nos parâmetros, p indica linha e q indica coluna
    
  // variáveis auxiliares
  int i = 0, j = 0;
 
  // percorre cada um dos elementos da matriz recebida
  for (int linha = 0; linha < ordem; linha++) {
    // percorre as colunas
    for (int coluna = 0; coluna < ordem; coluna++) {
      // copia para a matriz temporária apenas os
      // elementos que não se encaixam na linha
      // e coluna informadas
      if (linha != p && coluna != q) {
        temp[i][j++] = mat[linha][coluna];
        // preenchemos a linha. Hora de aumentar
        // o índice da linha e resetar o índice
        // da coluna
        if (j == ordem - 1) {
          j = 0;
          i++;
        }
      }
    }
  }
}

Ao executar este código C++ nós teremos o seguinte resultado:

A matriz é:

    1    3    0
    0    2    5
    2    4    4

O determinante da matriz é: 18


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C++ ::: Dicas & Truques ::: Ponteiros, Referências e Memória

Como alocar memória dinâmica usando o operador new do C++

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Em algumas situações precisamos alocar memória dinamicamente. Em C++ isso é feito com o auxílio do operador new. Este operador permite alocar uma determinada quantidade de bytes, alinhados de forma a representar o objeto para o qual queremos reservar memória.

Veja um exemplo de código no qual alocamos memória dinâmica para uma variável do tipo int:

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#include <iostream>

using namespace std;

int main(int argc, char *argv[]){
  // aloca memória para um objeto do tipo int
  int *ponteiro = new int;

  // vamos definir o valor para o objeto recém-alocado
  *ponteiro = 20;

  // vamos exibir seu valor
  cout << *ponteiro << endl;

  // vamos liberar a memória
  delete ponteiro;

  system("PAUSE"); // pausa o programa
  return EXIT_SUCCESS;
}

Note que aqui a memória foi alocada e guardada em um ponteiro. Veja também o uso do operador delete para liberar a memória alocada. Isso evita os vazamentos de memória tão frequentes em aplicações que lidam com a memória dinâmica.

É claro que este não é o exemplo mais prático. Qual a vantagem de se alocar memória para um int? Declarar uma variável teria sido mais eficiente.

A alocação de memória dinâmica é mais útil quando estamos lidando com objetos mais complexos que os tipos básicos. Alguns exemplos envolvem a criação de objetos de classes, matrizes, estruturas de dados, etc.

Veja um exemplo no qual temos uma declaração de uma classe chamada Cliente e em seguida alocamos memória para uma instância desta classe:

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#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

// declaração da classe Cliente
class Cliente{
  public:
    Cliente();
    string obterNome();
    void definirNome(string);
  private:
    string nome;
};

// implementação dos métodos da classe
Cliente::Cliente(){} // construtor vazio

// obtém o nome do cliente
string Cliente::obterNome(){
  return this->nome;
}

// define o nome do cliente
void Cliente::definirNome(string nome){
  this->nome = nome;
}

int main(int argc, char *argv[]){
  // aloca memória para um objeto da classe Cliente
  Cliente *c = new Cliente();

  // vamos definir o nome do cliente
  c->definirNome("Osmar J. Silva");

  // vamos exibir o nome do cliente
  cout << c->obterNome() << endl;

  // vamos liberar a memória usada
  delete c;

  system("PAUSE"); // pausa o programa
  return EXIT_SUCCESS;
}

Ao executar este código C++ nós teremos o seguinte resultado:

Nome do cliente: Osmar J. Silva


C++ ::: Dicas & Truques ::: Trigonometria - Funções Trigonométricas

Como calcular o comprimento da hipotenusa em C++ dadas as medidas do cateto oposto e do cateto adjascente

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Nesta dica mostrarei como é possível usar a linguagem C++ para retornar o comprimento da hipotenusa dadas as medidas do cateto oposto e do cateto adjascente. Vamos começar analisando a imagem a seguir:



Veja que, nessa imagem, eu já coloquei os comprimentos da hipotenusa, do cateto oposto e do cateto adjascente. Para facilitar a conferência dos cálculos, eu coloquei também os ângulos theta (que alguns livros chamam de alfa) e beta já devidamente calculados.

Então, sabendo que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (Teorema de Pitógoras):

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Tudo que temos a fazer a converter esta fórmula para código C++. Veja:

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#include <iostream>
#include <math.h>
#include <cstdlib>
 
using namespace std;
 
int main(int argc, char *argv[]){
  float a = 20; // medida do cateto oposto
  float b = 30; // medida do cateto adjascente
  
  // agora vamos calcular o comprimento da hipotenusa
  float c = sqrt(pow(a, 2) + pow(b, 2));
 
  // e mostramos o resultado
  cout << "O comprimento da hipotenusa é: " << c << "\n\n";
	 
  system("PAUSE"); // pausa o programa
  return EXIT_SUCCESS;
}

Ao executar este código C++ nós teremos o seguinte resultado:

O comprimento da hipotenusa é: 36.0555

Como podemos ver, o resultado retornado com o código C++ confere com os valores da imagem apresentada.


C++ ::: Dicas & Truques ::: Input e Output (Entrada e Saída)

Como exibir a saída em um programa C++ usando o objeto cout

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O objeto cout, presente no arquivo de cabeçalho iostream, é usado quando precisamos exibir a saída em nossos programas C++. Por ser um objeto da classe ostream, o objeto cout nos oferece muitos métodos, funções e propriedades que permitem um melhor controle sobre a formatação de saída.

Como o objeto cout é associada com o fluxo padrão de saída em um programação C++, as informações a serem exibidas na tela são fornecidas a ele por meio do operador de inserção (<<).

Veja um trecho de código no qual usamos o objeto cout para exibir o valor da constante matemática PI:

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#include <string>
#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int main(int argc, char *argv[]){
  // vamos obter o valor da constante PI
  double pi = M_PI;

  // vamos usar o objeto cout para exibir o resultado
  cout << "O valor de PI é: " << pi << endl;

  system("PAUSE"); // pausa o programa
  return EXIT_SUCCESS; 
}

Ao executarmos este código C++ nós teremos o seguinte resultado:

O valor de PI é: 3.14159

Vamos ver mais um exemplo? Eis um código C++ que usa o objeto cin para ler dois valor informados pelo usuário e depois usa o objeto cout para exibir a soma dos dois valores:

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#include <string>
#include <iostream>

using namespace std;

int main(int argc, char *argv[]){
  int a, b, soma;	
	
  // vamos ler dois valores
  cout << "Informe o primeiro valor: ";
  cin >> a;
  cout << "Informe o segundo valor: ";
  cin >> b;
 
  // vamos somar os dois valores
  soma = a + b;
  
  // e agora mostramos o resultado
  cout << "A soma dos valores é: " << soma << endl;

  system("PAUSE"); // pausa o programa
  return EXIT_SUCCESS; 
}

Ao executar este código C++ nós teremos o seguinte resultado:

Informe o primeiro valor: 8
Informe o segundo valor: 5
A soma dos valores é: 13


Vamos testar seus conhecimentos em Fenômeno de Transportes e Hidráulica

Classificação de turbinas

O processo de conversão de energia hidráulica em energia mecânica em uma turbina pode também ser utilizado para uma classificação em turbinas de ação ou de reação.

Considerando as turbinas de reação, qual afirmativa está correta?

A) As turbinas de reação são similares às de ação e operam com pressão variável.

B) As turbinas de reação são as turbinas que têm pressão constante no sistema.

C) Nas turbinas de reação, a água tem pressão variando desde a entrada até a saída.

D) As turbinas de ação correspondem a um subgrupo das turbinas de reação mista.

E) Nas turbinas de reação, o fluido converte energia mecânica em energia hidráulica.
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Vamos testar seus conhecimentos em Ética e Legislação Profissional

O exercício do direito à propriedade

Ainda sobre as ações judiciais correlatas aos direitos de vizinhança, mais especificamente sobre as ações de demarcação e divisão de propriedades, retificação de registros imobiliários e relação entre esses procedimentos, assinale a alternativa correta no que toca aos seus objetivos, às hipóteses de cabimento e às demais peculiaridades:

A) A ação de demarcação serve para esclarecer os limites divisórios entre dois prédios de dois proprietários diferentes.

B) O procedimento de retificação de matrícula serve para individualizar em matrículas separadas um bem que é de propriedade conjunta (condomínio).

C) A ação de demarcação dispensa memorial descritivo e prova pericial no processo.

D) As ações demarcatória e divisória não podem ser cumuladas na mesma ação, pois têm objetos diferentes.

E) Os procedimentos ou as ações de marcação e divisão de propriedades só podem ser realizados judicialmente.
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Vamos testar seus conhecimentos em Fenômeno de Transportes e Hidráulica

Equação da continuidade

Um avião está se movendo pelo ar com velocidade de 220 m/s. As linhas de fluxo acima da asa estão comprimidas em 88% de sua área original. As linhas de fluxo abaixo da asa não estão comprimidas. Qual é a velocidade do ar acima da asa do avião em relação a esta?

A) 220 m/s

B) 26,4 m/s

C) 414 m/s

D) 194 m/s

E) 250 m/s
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Vamos testar seus conhecimentos em Fenômeno de Transportes e Hidráulica

Viscosidade dos fluidos

A velocidade é um fator determinante na viscosidade de um fluido. Muitos estudos apresentam o cálculo da viscosidade a partir da velocidade média de um fluido viscoso. Como é chamado o fluido com viscosidade variável com a velocidade em que a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação?

A) Fluido compressível.

B) Fluido não compressível.

C) Fluido newtoniano.

D) Fluido não newtoniano.

E) Fluido relativo.
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Vamos testar seus conhecimentos em Engenharia Civil - Construção Civil

Fases de uma obra

A camada de argamassa executada sobre uma base, que pode ser a parte de baixo de uma laje de piso pré-fabricada ou uma parede, é denominada:

A) Acabamento.

B) Contrapiso.

C) Fundação.

D) Pavimento.

E) Concreto.
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Desafios, Exercícios e Algoritmos Resolvidos de C++

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