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Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy - Python para Engenharia

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Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy

Citando a Wikipédia: Na matemática, o limite de uma função é um conceito fundamental em cálculo e análise sobre o comportamento desta função quando próxima a um valor particular de sua variável independente. Informalmente, diz-se que __$\text{L}__$ é o limite da função __$\text{f(x)}__$ quando __$\text{x}__$ tende a __$\text{p}__$, escreve-se

\[ \lim_{x \to p} f(x) = L \]

quando __$\text{f(x)}__$ está arbitrariamente próximo de __$\text{L}__$ para todo __$\text{x}__$ suficientemente próximo de __$\text{p}__$. O conceito de limite pode ser estendido para funções de varias variáveis.

A biblioteca SymPy da linguagem Python facilita muito o trabalho de se calcular limites. É claro que é sempre uma boa idéia saber calcular o limite de uma função "na mão" mesmo, até para sabermos se nosso código Python está correto. No entanto, em algumas situações, lançar mão da função limit() da SymPy nos poupará um tempo incrível.

Dessa forma, a sintáxe para o cálculo do limite na SymPy segue o padrão limit(função, variável, ponto). Então, se quisermos calcular o limite de f(x) com x tendendo a 0, só precisamos fazer limit(f, x, 0).

Vamos colocar esse conhecimento em prática então? Veja o seguinte limite:

\[ \lim_{x \to 1} 5x^2 + 2x \]

Agora observe o código Python completo que calcula e retorna o limite desta função:

----------------------------------------------------------------------
Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
no WhatsApp +55 (62) 98553-6711 (Osmar)
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# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import * 

def main():
  # vamos definir o símbolo x
  x = symbols("x")
  # definimos a função
  f = (5 * x ** 2) + (2 * x) 
  # finalmente calculamos o limite
  limite = limit(f, x, 1)
  # e mostramos o resultado
  print("O limite da função é: %f." % limite)

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código nós teremos o seguinte resultado:

O limite da função é: 7.000000.

Logo, o limite da função no ponto __$\text{x}__$ = 1 vale 7, em outras palavras, 7 é o valor que __$f(5x^2 + 2x)__$ deveria ter em 1 para ser contínua nesse ponto.

Vamos ver mais um exemplo? Observe o seguinte limite:

\[ \lim_{x \to 1} \left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \]

Aqui temos um situação interessante. Note que temos que fazer uma manipulação algébrica na expressão, fatorando os termos. Porém, mesmo em situações assim o método limit() da Sympy consegue interpretar a expressão simbólica corretamente e nos devolver o limite esperado. Veja o código Python completo:

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Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
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----------------------------------------------------------------------

# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import * 

def main():
  # vamos definir o símbolo x
  x = symbols("x")
  # definimos a função
  f = (x ** 2 - 1) / (x - 1) 
  # finalmente calculamos o limite
  limite = limit(f, x, 1)
  # e mostramos o resultado
  print("O limite da função é: %f." % limite)

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

O limite da função é: 2.000000.

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Python ::: Desafios e Lista de Exercícios Resolvidos ::: Ordenação e Pesquisa (Busca)

Exercícios Resolvidos de Python - Como usar a Ordenação da Bolha em Python para ordenar os valores de um vetor em ordem crescente ou decrescente

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Pergunta/Tarefa:

A Ordenação da Bolha, ou ordenação por flutuação (literalmente "por bolha"), também chamada de Bubble Sort, é um algoritmo de ordenação dos mais simples. A ideia é percorrer o array diversas vezes, a cada passagem fazendo flutuar para o topo o maior elemento da sequência. Essa movimentação lembra a forma como as bolhas em um tanque de água procuram seu próprio nível, e disso vem o nome do algoritmo.

No melhor caso, o algoritmo executa n operações relevantes, onde n representa o número de elementos do vetor. No pior caso, são feitas n2 operações. A complexidade desse algoritmo é de ordem quadrática. Por isso, ele não é recomendado para programas que precisem de velocidade e operem com quantidade elevada de dados.

Escreva um programa Python que declara, constrói um vetor de 10 inteiros e peça para o usuário informar os valores de seus elementos. Em seguida use a ordenação da bolha para ordenar os elementos em ordem crescente.

Sua saída deverá ser parecida com:

Informe o valor para o índice 0: 84
Informe o valor para o índice 1: 23
Informe o valor para o índice 2: 9
Informe o valor para o índice 3: 5
Informe o valor para o índice 4: 11
Informe o valor para o índice 5: 3
Informe o valor para o índice 6: 50
Informe o valor para o índice 7: 7
Informe o valor para o índice 8: 2
Informe o valor para o índice 9: 73

O array informado foi:

84   23   9   5   11   3   50   7   2   73   

O array ordenado é:

2   3   5   7   9   11   23   50   73   84
Resposta/Solução:

Veja a resolução comentada deste exercício usando Python:

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Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
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# função principal do programa
def main():
  # vamos declarar e construir um vetor de 10 elementos
  valores = [0 for x in range(10)]
  	  
  # vamos pedir que o usuário informe os valores
  for i in range(0, len(valores)):
    valores[i] = int(input("Informe o valor para o índice {0}: ".format(i)))
    
  # vamos mostrar o vetor informado
  print("\nO array informado foi:\n\n")
  for i in range(0, len(valores)):
    print(valores[i], end="   ")
    
  # vamos ordenar os elementos do vetor usando a ordenação da bolha
  # laço externo de trás para frente
  for i in range(len(valores) - 1, 0, -1):
    for j in range(0, i): # laço interno vai no fluxo normal
      if valores[j] > valores[j + 1]: # temos que trocá-los de lugar 
        temp = valores[j]
        valores[j] = valores[j + 1]
        valores[j + 1] = temp
    
  # vamos exibir o vetor já ordenado
  print("\n\nO array ordenado é:\n\n")
  for i in range(0, len(valores)):
    print(valores[i], end="   ")
  
  print("\n")

if __name__== "__main__":
  main()



Python ::: Dicas & Truques ::: Lista (List)

Como pesquisar um item em uma lista Python e retornar seu índice usando a função index()

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Em algumas situações nós precisamos pesquisar um item em uma List do Python e retornar o índice de sua primeira ocorrência. Para isso nós podemos usar o método index(), que aceita uma string, um number, um object, etc, e retorna o índice da primeira posição do item dentro da lista.

Veja um exemplo de seu uso:

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"""
  Este exemplo mostra como pesquisar um item em
  uma lista. Se o item for encontrado, seu índice é
  retornado. Do contrário uma exceção do tipo ValueError
  é levantada.
"""

def main():
  # cria uma lista de inteiros
  valores = [2, 5, 12, 2, 3, 32, 18]

  try:
    indice = valores.index(13)
  except ValueError:
    print("O valor pesquisado nao foi encontrado")
  else:
    print("O valor foi encontrado no índice", indice)
    
if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

O valor pesquisado não foi encontrado.

Note que no exemplo nós usamos um bloco try..except para tratar a exceção ValueError, disparada quando o item pesquisado por meio da função index() não for encontrado na List. Veja:

----------------------------------------------------------------------
Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
no WhatsApp +55 (62) 98553-6711 (Osmar)
----------------------------------------------------------------------

Exception has occurred: ValueError
13 is not in list



Python ::: Tkinter GUI Toolkit ::: Formulários e Janelas

Como definir a cor de fundo de uma janela do Tkinter do Python usando a função config()

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A cor de fundo de uma janela do Tkinter do Python pode ser definida por meio de uma chamada à função config() da classe Tk com o valor de uma cor para o parâmetro bg.

Veja uma aplicação Tkinter completa no qual definimos o título da janela e, em seguida, sua cor de fundo:

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----------------------------------------------------------------------

# vamos importar o módulo Tkinter
import tkinter as tk

# método principal
def main():
  # vamos criar a janela principal da aplicação
  janela = tk.Tk()

  # vamos definir o título da janela
  janela.title("Sistema de Biblioteca")

  # vamos definir a cor de fundo da janela
  janela.config(bg='#F2B33D')

  # entramos no loop de eventos
  janela.mainloop()

if __name__== "__main__":
  main()



Vamos testar seus conhecimentos em JavaScript

A instrução default é obrigatória na construção switch...case...default do JavaScript?

A) Sim

B) Não
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Vamos testar seus conhecimentos em Engenharia Civil - Estruturas de Aço e Madeira

O aço no edifício

A estrutura de estabilização da moldura estrutural da edificação da figura abaixo, que caracteriza-se pela criação de configurações triangulares estáveis, ou amarrações diagonais, pode ser chamada de:



A) Estrutura contraventada.

B) Moldura amarrada excentricamente.

C) Moldura resistente a momentos.

D) Paredes de cisalhamento.

E) Nenhuma das alternativas anteriores.
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Vamos testar seus conhecimentos em Fundações

Sondagem à Percussão (SPT) e Rotativa (RQD)

Um boletim de sondagem SPT está indicando uma camada de solo residual de granito de 4m com N variando de 3 a 8 golpes. Atingido os 4m, verificou-se que o solo é impenetrável à percussão. O engenheiro solicitou que fizesse outro ensaio ao lado daquele (2m) e o perfil obtido foi de uma camada de solo variando de 3 a 25 golpes até a profundidade de 8m. O que o engenheiro pretendeu comprovar, realizando outro ensaio logo ao lado do primeiro?

A) A tentativa foi de comprovar que o solo era de péssima qualidade.

B) A tentativa foi de comprovar que se tratava de um solo com uma camada de menor resistência logo abaixo.

C) A tentativa foi de provar que se tratava de argilas de consistência mole.

D) A tentativa foi de comprovar que no solo residual de granito podem ocorrer matacões.

E) A tentativa foi de comprovar que o ensaio SPT não é eficiente para solos residuais.
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Vamos testar seus conhecimentos em JavaScript

A linguagem JavaScript diferencia letras maiúsculas de letras minúsculas (case-sensitive)?

A) Sim

B) Não
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Vamos testar seus conhecimentos em Ética e Legislação Profissional

A responsabilidade moral

A ética leva o homem a questionar constantemente suas ações e as atitudes alheias, tentando definir se elas são boas ou más, corretas ou incorretas. Na condição de disciplina, essa ciência se preocupa com a análise das ideias que envolvem a produção do bem e do mal, ou seja, dedica-se aos seus aspectos teóricos. Em tal perspectiva, pode-se afirmar que o conceito de ética se refere a:

A) quando o ser humano não pode falhar.

B) um conjunto de conhecimentos extraídos dos meios de comunicação.

C) um conjunto de conhecimentos extraídos da investigação do comportamento humano.

D) um conjunto de conhecimentos extraídos da investigação da moral.

E) quando o ser humano falha.
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Desafios, Exercícios e Algoritmos Resolvidos de Python

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