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Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy - Python para Engenharia

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Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy

Citando a Wikipédia: Na matemática, o limite de uma função é um conceito fundamental em cálculo e análise sobre o comportamento desta função quando próxima a um valor particular de sua variável independente. Informalmente, diz-se que __$\text{L}__$ é o limite da função __$\text{f(x)}__$ quando __$\text{x}__$ tende a __$\text{p}__$, escreve-se

\[ \lim_{x \to p} f(x) = L \]

quando __$\text{f(x)}__$ está arbitrariamente próximo de __$\text{L}__$ para todo __$\text{x}__$ suficientemente próximo de __$\text{p}__$. O conceito de limite pode ser estendido para funções de varias variáveis.

A biblioteca SymPy da linguagem Python facilita muito o trabalho de se calcular limites. É claro que é sempre uma boa idéia saber calcular o limite de uma função "na mão" mesmo, até para sabermos se nosso código Python está correto. No entanto, em algumas situações, lançar mão da função limit() da SymPy nos poupará um tempo incrível.

Dessa forma, a sintáxe para o cálculo do limite na SymPy segue o padrão limit(função, variável, ponto). Então, se quisermos calcular o limite de f(x) com x tendendo a 0, só precisamos fazer limit(f, x, 0).

Vamos colocar esse conhecimento em prática então? Veja o seguinte limite:

\[ \lim_{x \to 1} 5x^2 + 2x \]

Agora observe o código Python completo que calcula e retorna o limite desta função:

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Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
no WhatsApp +55 (62) 98553-6711 (Osmar)
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# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import * 

def main():
  # vamos definir o símbolo x
  x = symbols("x")
  # definimos a função
  f = (5 * x ** 2) + (2 * x) 
  # finalmente calculamos o limite
  limite = limit(f, x, 1)
  # e mostramos o resultado
  print("O limite da função é: %f." % limite)

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código nós teremos o seguinte resultado:

O limite da função é: 7.000000.

Logo, o limite da função no ponto __$\text{x}__$ = 1 vale 7, em outras palavras, 7 é o valor que __$f(5x^2 + 2x)__$ deveria ter em 1 para ser contínua nesse ponto.

Vamos ver mais um exemplo? Observe o seguinte limite:

\[ \lim_{x \to 1} \left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \]

Aqui temos um situação interessante. Note que temos que fazer uma manipulação algébrica na expressão, fatorando os termos. Porém, mesmo em situações assim o método limit() da Sympy consegue interpretar a expressão simbólica corretamente e nos devolver o limite esperado. Veja o código Python completo:

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----------------------------------------------------------------------

# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import * 

def main():
  # vamos definir o símbolo x
  x = symbols("x")
  # definimos a função
  f = (x ** 2 - 1) / (x - 1) 
  # finalmente calculamos o limite
  limite = limit(f, x, 1)
  # e mostramos o resultado
  print("O limite da função é: %f." % limite)

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

O limite da função é: 2.000000.

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Python ::: Dicas & Truques ::: Lista (List)

Curso de Python - Como ordenar uma lista de strings baseado no tamanho de cada uma

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Este exemplo mostra como ordenar os elementos de uma List de strings baseado no tamanho da palavra, frase ou texto. Note como o valor "key = len" como argumento para o método sort() da classe List.

Veja o código completo para a dica:

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def main():
  # cria uma lista de nomes
  nomes = ['Carlos', 'Igor', 'Osmar', 'Fernanda']
 
  # exibe a lista na ordem original
  print(nomes)
  
  # ordena a lista
  nomes.sort(key = len)
 
  # exibe a lista ordenada
  print(nomes)

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

['Carlos', 'Igor', 'Osmar', 'Fernanda']
['Igor', 'Osmar', 'Carlos', 'Fernanda']


Python ::: cmath Python Module (Módulo Python cmath para números complexos) ::: Números Complexos (Complex Numbers)

Como converter um número complexo na forma retangular para a forma polar usando Python

Quantidade de visualizações: 2254 vezes
Quando estamos efetuando cálculos envolvendo números complexos, é comum precisarmos converter da forma retangular para a forma polar, e vice-versa.

Um número complexo na forma retangular apresenta o seguinte formato:

7 + j5


onde 7 é a parte real e 5 é a parte imaginária. Note que usei a notação "j" em vez de "i" para a parte imaginária, uma vez que a notação "j" é a mais comum na engenharia.

O número complexo na forma polar, por sua vez, é composto pelo raio e pela fase (phase), que é o ângulo theta (ângulo da inclinação da hipotenusa em relação ao cateto adjascente).

O raio, representado por r, é o módulo do vetor cujas coordenadas são formadas pela parte real e a parte imaginária do número complexo. A parte real se encontra no eixo das abcissas (x) e a parte imaginária fica no eixo das ordenadas (y).

Veja agora o código Python completo que lê a parte real e a parte imaginária de um número complexo e o exibe na forma polar:

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# vamos importar o módulo de matemática de números complexos
import cmath

# método principal
def main():
  # vamos ler a parte real e a parte imaginária do
  # número complexo
  real = float(input("Parte real do número complexo: "))
  imaginaria = float(input("Parte imaginária do número complexo: "))

  # constrói o número complexo
  z = complex(real, imaginaria)

  # mostra o valor absoluto na forma polar
  print ("Valor absoluto (raio ou módulo): ", abs(z))
  # mostra a fase do número complexto na forma polar
  print("Fase em radianos: ", cmath.phase(z))
  print("Fase em graus: ", cmath.phase(z) * (180 / cmath.pi))
  
if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

Parte real do número complexo: 3
Parte imaginária do número complexo: -4
Valor absoluto (raio ou módulo): 5.0
Fase em radianos: -0.9272952180016122
Fase em graus: -53.13010235415598


Python ::: Dicas & Truques ::: Arquivos e Diretórios

Como criar um diretório em Python usando a função mkdir() do módulo os

Quantidade de visualizações: 3095 vezes
Podemos usar a função mkdir() do módulo os da linguagem Python para criarmos diretórios. Em sua versão mais simples, este método pede somente o nome e caminho do diretório a ser criado. Se o caminho for omitido, o novo diretório será criado no diretório atual, ou seja, o diretório da aplicação Python.

Veja um exemplo no qual criamos um diretório chamado "app" no diretório "C:\estudos_python":

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Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
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# importa o módulo os
import os

# método principal  
def main():
  # nome do diretório
  diretorio = "C:\\estudos_python\\app"

  # vamos criar o diretório
  os.mkdir(diretorio)

  # mostramos o resultado
  print('O diretório foi criado com sucesso.')

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

c:\estudos_python>python estudos.py
O diretório foi criado com sucesso.

Note que um erro do tipo FileExistsError será exibido se o diretório já existir:

Traceback (most recent call last):
File "c:\estudos_python\estudos.py", line 16, in <module>
main()
File "c:\estudos_python\estudos.py", line 10, in main
os.mkdir(diretorio)
FileExistsError: [WinError 183] Não é possível criar um arquivo já existente: 'C:\\estudos_python\\app'

Uma forma de evitar este erro é verificar se o diretório já existe ou usar uma construção try...except. Veja:

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Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
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----------------------------------------------------------------------

# importa o módulo os
import os

# método principal  
def main():
  # nome do diretório
  diretorio = "C:\\estudos_python\\app"

  try:
    # vamos criar o diretório
    os.mkdir(diretorio)
    # mostramos o resultado
    print('O diretório foi criado com sucesso.')
  except os.error as error_msg:
    print("Houve um erro: %s" % str(error_msg))

if __name__== "__main__":
  main()

Execute o código novamente e veja como o tratamento de erro ficou mais elegante.


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