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Como calcular o produto escalar entre dois vetores usando Python - Geometria Analítica e Álgebra Linear usando Python

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O produto escalar (em inglês: dot product) entre dois vetores é um número real que relaciona o comprimento desses dois vetores e o ângulo formado por eles. É importante notar que alguns autores se referem ao produto escalar como produto interno.

Obtém-se o produto escalar entre dois vetores, no R2, ou três vetores, no R3, por meio da fórmula a seguir (assumindo dois vetores __$\vec{u} = (a, b)__$ e __$\vec{v} = (c, d)__$ no R2).

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot c + b \cdot d \]

Vamos agora a um exemplo prático. Veja a imagem abaixo, na qual temos dois vetores, com suas coordenadas e magnitudes (módulo, comprimento ou norma):



Note que ambos os vetores possuem como origem as coordenadas (0, 0). O primeiro vetor possui as coordenadas finais (4, 10) e magnitude 11, e o segundo vetor possui as coordenadas finais (11, 6) e magnitude 13. Magnitude é o tamanho do vetor, ou seja, seu comprimento, seu módulo ou norma.

Veja agora o código Python completo que lê as coordenadas dos dois vetores e calcula e mostra o produto escalar entre eles:

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Se precisar de ajuda com o código abaixo, pode me chamar
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# função principal do programa
def main():
  # vamos ler os dados do primeiro vetor
  x1 = float(input("Informe o x do primeiro vetor: "))
  y1 = float(input("Informe o y do primeiro vetor: "))
    
  # vamos ler os dados do segundo vetor
  x2 = float(input("Informe o x do segundo vetor: "))
  y2 = float(input("Informe o y do segundo vetor: "))
        
  # vamos calcular o produto escalar
  pEscalar = (x1 * x2) + (y1 * y2)
    
  # mostramos o resultado
  print("O produto escalar é: %f" % pEscalar)
  
if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

Coordenada x do primeiro vetor: 4
Coordenada y do primeiro vetor: 10
Coordenada x do segundo vetor: 11
Coordenada y do segundo vetor: 6
O produto escalar é: 104.0

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Como calcular a transposta de uma matriz em Python - Python para Geometria Analítica e Álgebra Linear

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A matriz transposta de uma matriz A é a matriz AT. Tal matriz é obtida quando copiamos os elementos da matriz A para uma outra matriz (ou para ela mesma) e trocamos de posição as linhas e colunas. Dessa forma, a primeira linha da matriz A se transforma na primeira coluna da matriz transposta, a segunda linha da matriz A se transforma na segunda coluna da matriz transposta e assim por diante.

Em termos de notação, podemos dizer, de forma algébrica, que:

ATji = Aij

Onde i representa as linhas e j representa as colunas, tanto na matriz original quanto na matriz transposta.

É importante estar atento à quantidade de linhas e colunas na matriz original e na matriz transposta equivalente. Assim, se a matriz original for 3x2, a matriz transposta será 2x3.

Antes de vermos o código Python, dê uma olhada na seguinte matriz de duas linhas e três colunas:

\[A = \left[\begin{matrix} 3 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 9 \end{matrix}\right] \]

Sua matriz transposta correspondente é:

\[A^T = \left[\begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ 7 & 9 \end{matrix}\right] \]

E agora veja o código Python que declara uma matriz 2x3 e gera a matriz transposta 3x2:

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# importamos a bibliteca NumPy
import numpy as np
   
def main():
  # vamos declarar e construir uma matrix
  # 2x3 (duas linhas e três colunas
  matriz = np.array([(3, 5, 7), (1, 2, 9)])
    
  # vamos exibir os valores da matriz
  print("Elementos da matriz:")
  for i in range(np.shape(matriz)[0]):
    for j in range(np.shape(matriz)[1]):
      print("%7.2f" % matriz[i][j], end="")
    
    print()

  # como temos uma matriz 2x3, a transposta deverá ser
  # 3x2, ou seja, três linhas e duas colunas
  linhas = np.shape(matriz)[0] # linhas da matriz original
  colunas = np.shape(matriz)[1] # colunas da matriz original
  transposta = np.empty((colunas, linhas)) 
    
  # e agora vamos preencher a matriz transposta
  for i in range(np.shape(matriz)[0]):
    for j in range(np.shape(matriz)[1]):
      transposta[j][i] = matriz[i][j]
    
  # vamos exibir os valores da matriz transposta
  print("\nElementos da matriz transposta:")
  for i in range(np.shape(transposta)[0]):
    for j in range(np.shape(transposta)[1]):
      print("%7.2f" % transposta[i][j], end="")
    
    print()  

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

Elementos da matriz:
    3      5      7  
    1      2      9  
Elementos da matriz transposta:
    3      1  
    5      2  
    7      9  


É possível também obter a matriz transposta de um outra matriz usando o método transpose() da biblioteca NumPy da linguagem Python. Veja:

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# importamos a bibliteca NumPy
import numpy as np
   
def main():
  # vamos declarar e construir uma matrix
  # 2x3 (duas linhas e três colunas
  matriz = np.array([(3, 5, 7), (1, 2, 9)])
    
  # vamos exibir os valores da matriz
  print("Elementos da matriz:")
  for i in range(np.shape(matriz)[0]):
    for j in range(np.shape(matriz)[1]):
      print("%7.2f" % matriz[i][j], end="")
    
    print()

  # vamos transpor a matriz usando o método transpose()
  transposta = matriz.transpose() 
    
  # vamos exibir os valores da matriz transposta
  print("\nElementos da matriz transposta:")
  for i in range(np.shape(transposta)[0]):
    for j in range(np.shape(transposta)[1]):
      print("%7.2f" % transposta[i][j], end="")
    
    print()  

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este novo código Python veremos que o resultado é o mesmo.


Python ::: Dicas & Truques ::: Data e Hora

Datas e horas em Python - Como obter a hora como um decimal no intervalo 00-12 (formato 12 horas)

Quantidade de visualizações: 7389 vezes
Este exemplo mostra como obter a hora como um decimal no intervalo 00-12 (formato 12 horas) usando o método strftime() da classe datetime com o sinalizador "%I".

Veja o código completo para a dica:

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from datetime import datetime

def main():
  # Obtém um datetime da data e hora atual
  hoje = datetime.today()
 
  # Exibe a hora atual como um decimal
  print(hoje.strftime("A hora é: %I"))

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

A hora é: 10


Python ::: Dicas & Truques ::: Strings e Caracteres

Como converter uma string para float ou double em Python usando a função float()

Quantidade de visualizações: 1437 vezes
Em algumas situações nós temos um valor numérico representado por uma string e gostaríamos de convertê-lo para um valor float ou double na linguagem Python. Para isso nós podemos usar a função float(), disponível por padrão na linguagem.

Note o uso da função type() para exibirmos o tipo da variável antes e depois da conversão.

Veja o código Python completo para o exemplo:

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# método principal
def main():
  # vamos pedir para o usuário informar o preço de um produto
  # note que o preço será lido como uma string
  preco = input("Informe o valor do produto: ")

  # vamos exibir o valor lido e o tipo da variável
  print("Você informou o valor: {0}".format(preco))
  print("O tipo da variável é: {0}".format(type(preco)))

  # agora vamos converter a string para o tipo float
  preco = float(preco)
  
  # vamos mostrar o novo tipo da variável
  print("O novo tipo da variável é: {0}".format(type(preco)))

if __name__== "__main__":
  main()

Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado:

Informe o valor do produto: 45.92
Você informou o valor: 45.92
O tipo da variável é: <class 'str'>
O novo tipo da variável é: <class 'float'>

É preciso, no entanto, ter cuidado ao informar a string que será convertida para float. Se, em vez de informar o ponto separador de decimal, nós informarmos a vírgula, o seguinte erro será apresentado:

Informe o valor do produto: 45,21
Você informou o valor: 45,21
O tipo da variável é: <class 'str'>
Traceback (most recent call last):
File "c:\estudos_python\estudos.py", line 18, in <module>
main()
File "c:\estudos_python\estudos.py", line 12, in main
preco = float(preco)
ValueError: could not convert string to float: '45,21'


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