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Você está aqui: Python ::: Python para Engenharia ::: Geometria Analítica e Álgebra Linear |
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Como calcular a norma ou módulo de vetores nos espaços R2 e R3 usando Python - Geometria Analítica e Álgebra Linear usando PythonQuantidade de visualizações: 3769 vezes |
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Em Geometria Analítica e Álgebra Linear, a magnitude, norma, comprimento, tamanho ou módulo (também chamado de intensidade na Física) de um vetor é o seu comprimento, que pode ser calculado por meio da distância de seu ponto final a partir da origem, no nosso caso (0,0). Considere o seguinte vetor no plano, ou seja, no espaço bidimensional, ou R2: \[\vec{v} = \left(7, 6\right)\] Aqui este vetor se inicia na origem (0, 0) e vai até as coordenadas (x = 7) e (y = 6). Veja sua plotagem no plano 2D:  Note que na imagem já temos todas as informações que precisamos, ou seja, o tamanho desse vetor é 9 (arredondado) e ele faz um ângulo de 41º (graus) com o eixo x positivo. Em linguagem mais adequada da trigonometria, podemos dizer que a medida do cateto oposto é 6, a medida do cateto adjacente é 7 e a medida da hipotenusa (que já calculei para você) é 9. Note que já mostrei também o ângulo theta (__$\theta__$) entre a hipotenusa e o cateto adjacente, o que nos dá a inclinação da reta representada pelos pontos (0, 0) e (7, 6). Relembrando nossas aulas de trigonometria nos tempos do colegial, temos que o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos, ou seja, o Teorema de Pitágoras: \[a^2 = b^2 + c^2\] Como sabemos que a potenciação é o inverso da radiciação, podemos escrever essa fórmula da seguinte maneira: \[a = \sqrt{b^2 + c^2}\] Passando para os valores x e y que já temos: \[a = \sqrt{7^2 + 6^2}\] Podemos comprovar que o resultado é 9,21 (que arredondei para 9). Não se esqueça da notação de módulo ao apresentar o resultado final: \[\left|\vec{v}\right| = \sqrt{7^2 + 6^2}\] E aqui está o código Python que nos permite informar os valores x e y do vetor e obter o seu comprimento, tamanho ou módulo:
Ao executar este código nós teremos o seguinte resultado: Informe o valor de x: 7 Informe o valor de y: 6 A norma do vetor é: 9.22 Novamente note que arredondei o comprimento do vetor para melhor visualização no gráfico. Para calcular a norma de um vetor no espaço, ou seja, no R3, basta acrescentar o componente z no cálculo. |
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Python ::: Dicas & Truques ::: Matemática e Estatística |
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Como obter a série de Fibonacci recursivamente usando Python - Como calcular a sequência de Fibonacci em PythonQuantidade de visualizações: 15833 vezes |
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Na matemática, os números de Fibonacci são uma sequência ou sucessão definida como recursiva pela fórmula: Fn = Fn - 1 + Fn - 2 Os primeiros números de Fibonacci são: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, ... Esta sequência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci, para descrever o crescimento de uma população de coelhos. Veja um techo de código que mostra como calcular e mostrar a sequência de Fibonacci de forma recursiva:
Ao executarmos este código nós teremos um resultado parecido com: Informe um inteiro: 7 Fibonacci(7) = 13 E agora saindo um pouco de Python: Leonardo Pisa (1175-1240) publicou a sequência de Fibonacci no seu livro Liber Abaci (Livro do Ábaco, em português), o qual data de 1202. Porém, comenta-se que os indianos já haviam descrito essa série antes dele. Se pegarmos um número da série de Fibonacci e o dividirmos pelo seu antecessor (por exemplo: 55 dividido por 34), teremos quase sempre o valor 1,618. Este valor é aplicado com muita frequência em análises financeiras e na informática. Leonardo Da Vinci, que chamou essa sequência de Divina Proporção, a usou para fazer desenhos perfeitos. De fato, se observarmos atentamente, perceberemos a sequência de Fibonacci também na natureza. São exemplos disso as folhas das árvores, as pétalas das rosas, os frutos, como o abacaxi, as conchas espiraladas dos caracóis ou as galáxias. | ||||
Python ::: Desafios e Lista de Exercícios Resolvidos ::: Pesquisa Operacional |
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Exercício Resolvido de Python - Programação Linear em Python - Uma madeireira deseja obter 1000kg de lenha, 2000kg de madeira para móveis e 50 metrosQuantidade de visualizações: 615 vezes |
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Pergunta/Tarefa: Este exercício de Python aborda o uso da biblioteca PuLP para resolver um problema de Pesquisa Operacional usando Programação Linear. Uma madeireira deseja obter 1000kg de lenha, 2000kg de madeira para móveis e 50 metros quadrados de casca de árvore, dispondo de carvalho e pinheiro, sendo que o carvalho gera 40kg de lenha, 150kg de madeira e 3 metros quadrados de casca aproveitável; o pinheiro 100kg de lenha, 60kg de madeira e 8 metros quadrados de casca aproveitável. Formule o problema, de modo a minimizar os custos, sabendo que cada carvalho custa R$ 1500,00 para a empresa e cada pinheiro R$ 1200,00. Em seguida use a API de Programação Linear do PuLP para resolver o problema e mostrar a melhor solução. Sua saída deverá ser parecida com: x: 11.111111 y: 5.5555556 Antes de passarmos para o código Python é importante entendermos e fazermos a modelagem do problema. Neste exercício busca-se encontrar o custo mínimo. Assim, a nossa função objetivo será dada pela combinação dos preços do carvalho e do pinheiro. Veja: Zmin = 1500x + 1200y Aqui nós definimos a variável x para o carvalho e a variável y para o pinheiro. Agora que já temos a função Z, o próximo passo é analizarmos as restrições. Note que a empresa precisa de 1000kg de lenha. O carvalho gera 40kg de lenha, enquanto o pinheiro gera 100kg. Então nossa primeira restrição é: R1 = 40x + 100y >= 1000 Para a segunda restrição nós temos que a empresa precisa de 2000kg de madeira. O carvalho gera 150kg de madeira, enquanto o pinheiro gera 60kg. Assim, nossa segunda restrição é: R2 = 150x + 60y >= 2000 Finalmente, para a terceira restrição, sabemos que a empresa necessita de 50 metros quadrados de casca de árvore. O carvalho gera 3 metros quadrados de casca aproveitável, enquanto o pinheiro gera 8 metros quadradros. Então a terceira restrição é: R3 = 3x + 8y >= 50 As restrições 4 e 5 dizem que tanto o x quanto o y devem ser maiores ou iguais a zero, e que ambos devem pertencer aos números reais. Veja agora como usamos os dados de formulação para resolver este exercício usando Python e a biblioteca PuLP:
Note como o PuLP nos deu o custo mínimo de 23333.33 para atingir o objetivo desejado pela madeireira. | ||||
Python ::: Dicas & Truques ::: Strings e Caracteres |
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Apostila Python - Como verificar se uma string contém apenas números (dígitos)Quantidade de visualizações: 18852 vezes |
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Este exemplo mostra como como usar a função isdigit() para verificar se uma string contém apenas números. Se alguma letra ou caractere especial estiver contido, a função retorna False. Veja o código Python completo:
Ao executarmos este código nós teremos o seguinte resultado: A string contém apenas números | ||||
Desafios, Exercícios e Algoritmos Resolvidos de Python |
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