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Python ::: Python para Engenharia ::: Cálculo Diferencial e Integral |
Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy - Python para EngenhariaQuantidade de visualizações: 4772 vezes |
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Como calcular o limite de uma função usando Python e a biblioteca Sympy Citando a Wikipédia: Na matemática, o limite de uma função é um conceito fundamental em cálculo e análise sobre o comportamento desta função quando próxima a um valor particular de sua variável independente. Informalmente, diz-se que __$\text{L}__$ é o limite da função __$\text{f(x)}__$ quando __$\text{x}__$ tende a __$\text{p}__$, escreve-se \[ \lim_{x \to p} f(x) = L \] quando __$\text{f(x)}__$ está arbitrariamente próximo de __$\text{L}__$ para todo __$\text{x}__$ suficientemente próximo de __$\text{p}__$. O conceito de limite pode ser estendido para funções de varias variáveis. A biblioteca SymPy da linguagem Python facilita muito o trabalho de se calcular limites. É claro que é sempre uma boa idéia saber calcular o limite de uma função "na mão" mesmo, até para sabermos se nosso código Python está correto. No entanto, em algumas situações, lançar mão da função limit() da SymPy nos poupará um tempo incrível. Dessa forma, a sintáxe para o cálculo do limite na SymPy segue o padrão limit(função, variável, ponto). Então, se quisermos calcular o limite de f(x) com x tendendo a 0, só precisamos fazer limit(f, x, 0). Vamos colocar esse conhecimento em prática então? Veja o seguinte limite: \[ \lim_{x \to 1} 5x^2 + 2x \] Agora observe o código Python completo que calcula e retorna o limite desta função:
# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import *
def main():
# vamos definir o símbolo x
x = symbols("x")
# definimos a função
f = (5 * x ** 2) + (2 * x)
# finalmente calculamos o limite
limite = limit(f, x, 1)
# e mostramos o resultado
print("O limite da função é: %f." % limite)
if __name__== "__main__":
main()
Ao executar este código nós teremos o seguinte resultado: O limite da função é: 7.000000. Logo, o limite da função no ponto __$\text{x}__$ = 1 vale 7, em outras palavras, 7 é o valor que __$f(5x^2 + 2x)__$ deveria ter em 1 para ser contínua nesse ponto. Vamos ver mais um exemplo? Observe o seguinte limite: \[ \lim_{x \to 1} \left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) \] Aqui temos um situação interessante. Note que temos que fazer uma manipulação algébrica na expressão, fatorando os termos. Porém, mesmo em situações assim o método limit() da Sympy consegue interpretar a expressão simbólica corretamente e nos devolver o limite esperado. Veja o código Python completo:
# vamos importar a biblioteca SymPy
from sympy import *
def main():
# vamos definir o símbolo x
x = symbols("x")
# definimos a função
f = (x ** 2 - 1) / (x - 1)
# finalmente calculamos o limite
limite = limit(f, x, 1)
# e mostramos o resultado
print("O limite da função é: %f." % limite)
if __name__== "__main__":
main()
Ao executar este código Python nós teremos o seguinte resultado: O limite da função é: 2.000000. |
wxWidgets ::: Dicas & Truques ::: wxApp |
Como usar a classe wxApp em suas aplicações C++ wxWidgetsQuantidade de visualizações: 2354 vezes |
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A classe wxApp (Application Class) é uma das primeiras classes que devemos estudar se quisermos ter um domínio perfeito do framework wxWidgets. Para usá-la, devemos incluir #include <wx/app.h> em nossos códigos. Essa classe herda de wxAppConsole. Todas as aplicações wxWidgets definem uma classe application derivada de wxApp. Há somente uma instância dela, e essa instância representa a aplicação sendo executada no momento. De todos os métodos herdados de wxApp, há pelo menos um que devemos implementar, e ele é a função OnInit(), que é chamada quando o wxWidgets está pronto para executar o nosso código. OnInit() equivale ao main() em C/C++ ou WinMain (aplicações Win32). Veja um trecho de código no qual declaramos e usamos a classe wxApp: Código para aplicacao.h:
#include <wx/wx.h>
// arquivo de definição
// declaramos a classe application
class MinhaAplicacao : public wxApp{
public:
// é chamado no startup da aplicação
virtual bool OnInit();
};
// declara MinhaAplicacao& GetApp()
DECLARE_APP(MinhaAplicacao)
Código para aplicacao.cpp:
#include "aplicacao.h"
// arquivo de implementação
// aqui o wxWidgets implementa nosso objeto MinhaAplicacao
IMPLEMENT_APP(MinhaAplicacao)
bool MinhaAplicacao::OnInit(){
// vamos mostrar uma mensagem ao iniciar a aplicação
wxMessageDialog *alerta = new wxMessageDialog(NULL,
wxT("A aplicação foi iniciada com sucesso"), wxT("Informação"), wxOK);
alerta->ShowModal();
// em geral retornamos true para iniciar o loop de eventos
// mas essa aplicação exibe apenas uma janela de mensagem. Podemos sair
return false;
}
Veja que no arquivo de declaração (header file) nós temos a macro DECLARE_APP. Ela nos permite declarar a função wxGetApp() que retorna uma referência para o objeto aplicação. Se não fizermos isso, a única forma de obter tal referência é usando o ponteiro global wxTheApp, que é do tipo wxApp*. A macro IMPLEMENT_APP, no arquivo de implementação, permite ao wxWidgets criar dinamicamente uma instância do objeto application no ponto apropriado da inicialização da biblioteca. Esse trecho de código é totalmente funcional, mas teremos apenas a exibição de uma mensagem wxMessageDialog. Por essa razão eu retornei false no laço de eventos. Se tivéssemos criado uma janela wxFrame, o retorno deveria ser true, já que teríamos de lidar com eventos. Para finalizarmos, lembre-se de que o método OnInit() da classe wxApp é o local ideal para se fazer as verificações iniciais da aplicação, tais como conexão com banco de dados, permissão do usuário, disponibilidade da rede, etc. |
PHP ::: Dicas & Truques ::: Arrays e Matrix (Vetores e Matrizes) |
Como usar a função array_unique() do PHP para remover elementos duplicados de um vetor - Removendo elementos repetidos de um array PHPQuantidade de visualizações: 18979 vezes |
Em algumas situações nossos códigos precisam remover os elementos duplicados em um array (vetor) PHP. Isso pode ser feito por meio do uso da função array_unique(). Esta função recebe um array e retorna um outro array com os elementos duplicados removidos. Veja um exemplo:
<?php
// vamos declarar e inicializar um vetor de inteiros
$valores = array(43, 2, 6, 11, 98, 6, 3, 6);
// vamos exibir os valores do vetor
echo "Com elementos duplicados:<br>";
foreach($valores as $valor){
echo $valor . " - ";
}
// vamos remover os elementos duplicados
$valores = array_unique($valores);
// vamos exibir os valores do vetor novamente
echo "<br><br>Sem elementos duplicados:<br>";
foreach($valores as $valor){
echo $valor . " - ";
}
?>
Ao executarmos este código teremos o seguinte resultado: Com elementos duplicados: 43 - 2 - 6 - 11 - 98 - 6 - 3 - 6 - Sem elementos duplicados: 43 - 2 - 6 - 11 - 98 - 3 - Note que a função array_unique() remove APENAS os valores dos elementos duplicados, ou seja, as chaves ou índices são mantidos. Isso pode ser visto no trecho de código a seguir:
<?php
// vamos declarar e inicializar um vetor de inteiros
$valores = array(43, 2, 6, 11, 98, 6, 3, 6);
// vamos listar os valores dos elementos no vetor
for($i = 0; $i < count($valores); $i++){
echo $valores[$i] . " - ";
}
// vamos remover os elementos duplicados
$valores = array_unique($valores);
// vamos listar os valores no vetor novamente
echo "<br><br>";
for($i = 0; $i < count($valores); $i++){
echo $valores[$i] . " - ";
}
?>
Este código resultará em: 43 - 2 - 6 - 11 - 98 - 6 - 3 - 6 - 43 - 2 - 6 - 11 - 98 - - Note que a última iteração do laço deveria alcançar o valor 3. Em vez disso o laço imprimiu um valor não definido no índice 5. Esta dica foi escrita no PHP 5.2.10. Vamos torcer para que as versões mais recentes não apresentem este comportamento. Enquanto isso EVITE usar o laço for com vetores resultantes de uma chamada à função array_unique(). Use o laço foreach(). |
Java ::: Dicas & Truques ::: Arrays e Matrix (Vetores e Matrizes) |
Como obter a média dos valores dos elementos de um vetor de inteiros na linguagem JavaQuantidade de visualizações: 17689 vezes |
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Nesta dica mostrarei como obter a média dos valores dos elementos de um array (vetor) de ints. A média que vamos obter é aritmética, ou seja, somamos todos os valores e dividimos pela quantidade de valores no vetor. Veja o código completo:
package arquivodecodigos;
public class Estudos{
public static void main(String[] args){
int[] valores = new int[5];
// inicializa os elementos do vetor
valores[0] = 23;
valores[1] = 65;
valores[2] = 2;
valores[3] = 87;
valores[4] = 34;
// obtém a média
double media = media(valores);
System.out.println("A media dos valores é: " + media);
System.exit(0);
}
// método que recebe um vetor de ints e retorna a média
// dos valores de seus elementos
public static double media(int[] a){
double total = 0.0;
for(int i = 0; i < a.length; i++){
total += a[i];
}
return (total / a.length);
}
}
Ao executar este código nós teremos o seguinte resultado: A media dos valores é: 42.2 |
Java ::: Estruturas de Dados ::: Lista Ligada Simples |
Estruturas de dados em Java - Como criar uma lista singularmente ligada, inserindo e exibindo os valores contidos em cada nóQuantidade de visualizações: 12414 vezes |
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Em dicas posteriores você aprendeu sobre listas singularmente e duplamente ligadas. Nesta dica você aprenderá a criar uma lista singularmente ligada (com referências apenas para o próximo nó), inserir alguns nós (sempre no final da lista) e usará um laço while para visitar todos os nós e exibir seus valores. A classe usada para representar cada nó é a seguinte (No.java):
// classe No
public class No{
public int valor;
public No proximo;
}
// fim da classe No
Note que cada nó contém apenas um valor inteiro e uma referência para o próximo nó. Ao analisar o código você perceberá que tanto a inserção quanto a exibição dos nós são feitas usando métodos. Isso permitirá o reaproveitamento deste código em suas próprias implementações. Veja o código para a lista ligada (Lista.java):
public class Lista{
No inicio; // início da lista
// função que permite exibir os valores de
// todos os nós da lista
public void exibir(){
if(inicio != null){
do{
System.out.println(inicio.valor);
inicio = inicio.proximo;
}while(inicio != null);
}
else
System.out.println("A lista esta vazia\n\n");
}
// função que permite inserir nós na lista.
// veja que a função recebe o valor a ser
// armazenado em cada nó
public void inserir(int v){
No temp;
// verifica se a lista está vazia
if(inicio == null){
// reserva memória para o novo nó
inicio = new No();
inicio.valor = v;
// é o primeiro nó...não deve apontar para
// lugar nenhum
inicio.proximo = null;
}
else{ // não está vazia....vamos inserir o nó no final
temp = inicio;
// vamos varrer a lista até encontrar o último nó
while(temp.proximo != null)
temp = temp.proximo;
// estamos no último nó...vamos criar um novo nó agora
temp.proximo = new No();
// atribui o valor do nó
temp.proximo.valor = v;
// define o campo proximo do nó como null
temp.proximo.proximo = null;
}
}
}
Compile as classes No.java e Lista.java e vamos fazer o teste (TesteJava.java):
public class TesteLista{
public static void main(String args[]){
// vamos criar uma nova lista
Lista lista = new Lista();
// vamos inserir quatro valores na lista
lista.inserir(45);
lista.inserir(3);
lista.inserir(98);
lista.inserir(17);
// exibe os valores na lista
lista.exibir();
System.exit(0);
}
}
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